Trigonometría: Calcula Tg2a Con Ángulos Agudos

by Tom Lembong 47 views
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¡Hola, cracks de las mates! Hoy vamos a desmenuzar un problemita de trigonometría que seguro te va a volar la cabeza, pero de la buena. Estamos hablando de cómo calcular tg2a cuando sabemos que cosa = 0.3 y que 'a' es un ángulo agudo. ¡Suena complicado? ¡Para nada! Quédate conmigo y verás qué fácil es esto si sabes los trucos. Nos vamos a sumergir en el fascinante mundo de las identidades trigonométricas, esas fórmulas mágicas que nos salvan la vida en estos casos. Preparados para poner a prueba nuestras neuronas con este desafío matemático. ¡Vamos allá!

Entendiendo el Problema: Ángulos Agudos y Trigonometría

Lo primero, lo primero, ¿qué significa que 'a' sea un ángulo agudo? Pues, chicos, simplemente quiere decir que este ángulo es menor a 90 grados. ¡Así de fácil! Esto es súper importante porque en trigonometría, los signos de las funciones trigonométricas dependen del cuadrante en el que se encuentre el ángulo. Al ser agudo, sabemos que nuestro ángulo 'a' está en el primer cuadrante, donde todo es positivo: seno, coseno, tangente, ¡todo! Esto nos simplifica bastante las cosas, ¿verdad? Ahora, nos dan un dato clave: cosa = 0.3. Esto es el coseno de nuestro ángulo 'a'. Con este valor, y sabiendo que es un ángulo agudo, tenemos que hallar tg2a. ¡Ojo! No nos piden la tangente de 'a', sino la tangente del doble del ángulo 'a'. Aquí es donde entran en juego las famosas fórmulas del ángulo doble. Estas fórmulas nos permiten relacionar las funciones trigonométricas de un ángulo con las del doble de ese ángulo. ¡Son como llaves maestras que abren puertas en las ecuaciones trigonométricas! El objetivo final es usar la información que tenemos (cosa = 0.3 y que 'a' es agudo) para llegar a un valor numérico para tg2a. Las opciones que nos dan son a) 2, b) 4, c) 8, d) 10, e) 12. ¡Así que al final sabremos cuál es la respuesta correcta!

Desglosando la Solución: Paso a Paso

Para calcular tg2a, necesitamos una fórmula que nos conecte con el ángulo 'a'. La fórmula más directa para la tangente del ángulo doble es:

tg(2a)=2tg(a)1−tg2(a) \text{tg}(2a) = \frac{2 \text{tg}(a)}{1 - \text{tg}^2(a)}

¡Ahí la tienen, chicos! Esta es nuestra arma secreta. Pero, ¿qué pasa? ¡Todavía no sabemos cuánto vale tg(a)! Solo sabemos cosa = 0.3. ¡No se me asusten! Aquí es donde entra otro concepto fundamental: la relación entre el coseno y la tangente. Recuerden que tg(a) = seno(a) / cosa(a). Así que, para hallar tg(a), primero necesitamos encontrar seno(a).

¿Y cómo hallamos seno(a) si solo tenemos cosa(a)? ¡Pues usamos la identidad trigonométrica fundamental! ¡La que nunca falla!

sen2(a)+cos2(a)=1 \text{sen}^2(a) + \text{cos}^2(a) = 1

Despejamos seno(a):

sen2(a)=1−cos2(a) \text{sen}^2(a) = 1 - \text{cos}^2(a)

Sustituimos el valor de cosa(a) = 0.3:

sen2(a)=1−(0.3)2 \text{sen}^2(a) = 1 - (0.3)^2

sen2(a)=1−0.09 \text{sen}^2(a) = 1 - 0.09

sen2(a)=0.91 \text{sen}^2(a) = 0.91

Ahora, sacamos la raíz cuadrada para obtener seno(a):

sen(a)=±0.91 \text{sen}(a) = \pm\sqrt{0.91}

¡Momento crucial! Como dijimos al principio, 'a' es un ángulo agudo. Esto significa que está en el primer cuadrante, y en el primer cuadrante, ¡el seno es positivo! Así que nos quedamos con la raíz positiva:

sen(a)=0.91 \text{sen}(a) = \sqrt{0.91}

¡Genial! Ya tenemos seno(a) y cosa(a). Ahora sí podemos calcular tg(a):

tg(a)=sen(a)cos(a)=0.910.3 \text{tg}(a) = \frac{\text{sen}(a)}{\text{cos}(a)} = \frac{\sqrt{0.91}}{0.3}

¡Ya casi llegamos, compas! Ahora tenemos que sustituir este valor de tg(a) en la fórmula del ángulo doble para tg(2a). ¡Esto se pone emocionante!

tg(2a)=2(0.910.3)1−(0.910.3)2 \text{tg}(2a) = \frac{2 \left(\frac{\sqrt{0.91}}{0.3}\right)}{1 - \left(\frac{\sqrt{0.91}}{0.3}\right)^2}

Vamos a simplificar esto paso a paso. Primero, calculamos el denominador:

1−(0.910.3)2=1−0.91(0.3)2=1−0.910.09 1 - \left(\frac{\sqrt{0.91}}{0.3}\right)^2 = 1 - \frac{0.91}{(0.3)^2} = 1 - \frac{0.91}{0.09}

¡Ay, caramba! Aquí tenemos una división con decimales que puede ser un poco engorrosa. Vamos a convertirlo todo a fracciones para que sea más manejable. Sabemos que 0.3 es 3/10 y 0.09 es 9/100 y 0.91 es 91/100.

cos(a)=310 \text{cos}(a) = \frac{3}{10}

sen2(a)=1−(310)2=1−9100=91100 \text{sen}^2(a) = 1 - \left(\frac{3}{10}\right)^2 = 1 - \frac{9}{100} = \frac{91}{100}

sen(a)=91100=9110 \text{sen}(a) = \sqrt{\frac{91}{100}} = \frac{\sqrt{91}}{10}

Ahora calculamos tg(a):

tg(a)=sen(a)cos(a)=9110310=913 \text{tg}(a) = \frac{\text{sen}(a)}{\text{cos}(a)} = \frac{\frac{\sqrt{91}}{10}}{\frac{3}{10}} = \frac{\sqrt{91}}{3}

¡Mucho más limpio! Ahora sustituimos esto en la fórmula del ángulo doble:

tg(2a)=2(913)1−(913)2 \text{tg}(2a) = \frac{2 \left(\frac{\sqrt{91}}{3}\right)}{1 - \left(\frac{\sqrt{91}}{3}\right)^2}

Calculamos el denominador:

1−(913)2=1−919=99−919=9−919=−829 1 - \left(\frac{\sqrt{91}}{3}\right)^2 = 1 - \frac{91}{9} = \frac{9}{9} - \frac{91}{9} = \frac{9 - 91}{9} = \frac{-82}{9}

¡Uy! Algo no cuadra. Si 'a' es agudo, entonces '2a' podría estar en el primer o segundo cuadrante. Si 'a' es agudo, entonces 0<a<90exto0 < a < 90^ ext{o}. Por lo tanto, 0<2a<180exto0 < 2a < 180^ ext{o}. Si $ ext{cos}(a) = 0.3$ (que es positivo), entonces 'a' está en el primer cuadrante. Si $ ext{tg}(a)$ es positivo, entonces 2a2a podría estar en el primer o tercer cuadrante. Pero si 'a' es agudo, $ ext{tg}(a)$ es positivo. El denominador nos da un número negativo. Esto significa que 1−exttg2(a)1 - ext{tg}^2(a) es negativo. Esto implica que $ ext{tg}^2(a) > 1$. Si $ ext{tg}^2(a) > 1$, entonces $ ext{tg}(a) > 1$. Veamos si nuestro $ ext{tg}(a)$ es mayor que 1.

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Vamos a intentar otra fórmula para el ángulo doble que no dependa directamente de tg(a) en el denominador.

Tenemos: cos(a)=0.3=310\text{cos}(a) = 0.3 = \frac{3}{10}.

Sabemos que: cos(2a)=2cos2(a)−1=2(310)2−1=2(9100)−1=18100−1=18−100100=−82100=−0.82\text{cos}(2a) = 2\text{cos}^2(a) - 1 = 2\left(\frac{3}{10}\right)^2 - 1 = 2\left(\frac{9}{100}\right) - 1 = \frac{18}{100} - 1 = \frac{18 - 100}{100} = \frac{-82}{100} = -0.82.

Ahora, necesitamos relacionar tg(2a)\text{tg}(2a) con cos(2a)\text{cos}(2a). Sabemos que tg(2a)=sen(2a)cos(2a)\text{tg}(2a) = \frac{\text{sen}(2a)}{\text{cos}(2a)}.

Necesitamos hallar sen(2a)\text{sen}(2a). Usamos la identidad: sen2(2a)+cos2(2a)=1\text{sen}^2(2a) + \text{cos}^2(2a) = 1.

sen2(2a)=1−cos2(2a)=1−(−0.82)2=1−0.6724=0.3276 \text{sen}^2(2a) = 1 - \text{cos}^2(2a) = 1 - (-0.82)^2 = 1 - 0.6724 = 0.3276

sen(2a)=±0.3276 \text{sen}(2a) = \pm\sqrt{0.3276}

Esto se está volviendo muy complicado con decimales. ¡Volvamos a las fracciones para mayor precisión!

$ \text{cos}(a) = \frac{3}{10} $.

$ \text{sen}(a) = \frac{\sqrt{91}}{10} $.

$ \text{tg}(a) = \frac{\sqrt{91}}{3} $.

Si $ \text{cos}(a) = \frac{3}{10} $, entonces a=extarccos(0.3)≈72.54extoa = ext{arccos}(0.3) \approx 72.54^ ext{o}.

Si a≈72.54extoa \approx 72.54^ ext{o}, entonces 2a≈145.08exto2a \approx 145.08^ ext{o}. Este ángulo está en el segundo cuadrante, donde la tangente es negativa.

¡Aquí está la clave, chicos! Si el problema está bien planteado y las opciones son positivas, ¡entonces la única forma de que esto tenga sentido es si estamos buscando el valor absoluto de la tangente, o si hay un error en las opciones o en el planteamiento original del problema! Sin embargo, en matemáticas, cuando te piden un valor, generalmente es el valor exacto con su signo correspondiente.

Revisemos las opciones: a) 2, b) 4, c) 8, d) 10, e) 12.

Si tomamos nuestra fórmula $ \text{tg}(2a) = \frac{2 \text{tg}(a)}{1 - \text{tg}^2(a)} $ y sustituimos $ \text{tg}(a) = \frac{\sqrt{91}}{3} $:

tg(2a)=2(913)1−(913)2=29131−919=29139−919=2913−829 \text{tg}(2a) = \frac{2 \left(\frac{\sqrt{91}}{3}\right)}{1 - \left(\frac{\sqrt{91}}{3}\right)^2} = \frac{\frac{2\sqrt{91}}{3}}{1 - \frac{91}{9}} = \frac{\frac{2\sqrt{91}}{3}}{\frac{9-91}{9}} = \frac{\frac{2\sqrt{91}}{3}}{\frac{-82}{9}}

tg(2a)=2913×9−82=1891−246=391−41 \text{tg}(2a) = \frac{2\sqrt{91}}{3} \times \frac{9}{-82} = \frac{18\sqrt{91}}{-246} = \frac{3\sqrt{91}}{-41}

Este valor es claramente negativo y no coincide con ninguna de las opciones.

¿Qué podría estar pasando?

  1. Error en el enunciado: Quizás el valor de cosa\text{cosa} era diferente, o se pedía tg2(a)\text{tg}^2(a) o algo similar.
  2. Error en las opciones: Las opciones dadas no corresponden al resultado correcto.
  3. Interpretación del problema: A veces, en contextos de exámenes, se pueden presentar problemas donde se espera que ignores el signo si el contexto es un poco ambiguo o si las opciones son solo positivas. Sin embargo, esto no es matemáticamente riguroso.

Vamos a considerar una posibilidad: ¿Y si el problema en realidad nos pedía calcular algo relacionado pero diferente? O quizás el ángulo 'a' no era agudo en el sentido estricto que asumimos, aunque el problema lo diga. Pero si es agudo, la solución es negativa.

¿Y si el problema venía de un contexto donde se esperaba un resultado positivo de alguna manera?

Consideremos la fórmula de la cotangente del ángulo doble: $ \text{ctg}(2a) = \frac{\text{ctg}^2(a) - 1}{2 \text{ctg}(a)} $. Esto tampoco nos ayuda directamente si buscamos tg(2a) y tenemos tg(a).

Intentemos la fórmula de la tangente del ángulo doble en términos de coseno:

Hay una identidad que relaciona tg(2a)\text{tg}(2a) con cos(2a)\text{cos}(2a): $ \text{tg}^2(2a) = \frac{1 - \text{cos}(2a)}{1 + \text{cos}(2a)} $.

Ya calculamos $ \text{cos}(2a) = -0.82 = -\frac{82}{100} = -\frac{41}{50} $.

Sustituimos en la fórmula:

tg2(2a)=1−(−4150)1+(−4150)=1+41501−4150=50+415050−4150=9150950=919 \text{tg}^2(2a) = \frac{1 - (-\frac{41}{50})}{1 + (-\frac{41}{50})} = \frac{1 + \frac{41}{50}}{1 - \frac{41}{50}} = \frac{\frac{50+41}{50}}{\frac{50-41}{50}} = \frac{\frac{91}{50}}{\frac{9}{50}} = \frac{91}{9}

Ahora, si $ \text{tg}^2(2a) = \frac{91}{9} $, entonces $ \text{tg}(2a) = \pm\sqrt{\frac{91}{9}} = \pm\frac{\sqrt{91}}{3} $.

¡Ajá! El valor absoluto de la tangente es 913\frac{\sqrt{91}}{3}. ¡Pero esto es precisamente lo que obtuvimos para tg(a) antes!

¡Error garrafal! La fórmula que utilicé para tg2(2a)\text{tg}^2(2a) está mal aplicada. La fórmula correcta en términos de coseno es:

tg2(x)=sin⁡2(x)cos⁡2(x)=1−cos⁡2(x)cos⁡2(x) \text{tg}^2(x) = \frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)} = \frac{1 - \cos^2(x)}{\cos^2(x)}

O, en términos de cos⁡(2x)\cos(2x):

Sabemos $ \cos(2a) = 2\cos^2(a) - 1 $. Y también $ \cos(2a) = 1 - 2\sin^2(a) $. Y $ \cos(2a) = \cos^2(a) - \sin^2(a) $.

Para hallar $ \text{tg}(2a) $, podemos usar la relación:

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