Triângulo Retângulo: Pontos, Desenho E Área

Nov 30, 2025 by Tom Lembong 44 views

E aí, galera da matemática! Hoje vamos desbravar um problema super legal envolvendo geometria. Se você tá aprendendo sobre coordenadas e triângulos, se liga que esse conteúdo é pra você! Vamos marcar os pontos A(2,1), B(2,6) e C(7,1), desenhar o triângulo ABC, provar que ele é retângulo e, pra fechar com chave de ouro, calcular a sua área. Preparados?

Marcando os Pontos no Plano Cartesiano

Primeiro, vamos posicionar nossos pontos no plano cartesiano. Lembra como funciona? O primeiro número é a coordenada x (horizontal) e o segundo é a coordenada y (vertical). Pra começar, marque o ponto A nas coordenadas (2,1). Isso significa que você anda 2 unidades pra direita no eixo x e 1 unidade pra cima no eixo y. Fácil, né? Em seguida, vamos marcar o ponto B nas coordenadas (2,6). Andamos 2 unidades pra direita no x e 6 unidades pra cima no y. Por último, temos o ponto C nas coordenadas (7,1). A gente anda 7 unidades pra direita no x e 1 unidade pra cima no y. Agora que os pontos estão marcados, a gente pode conectar esses pontinhos pra formar o nosso triângulo ABC. Pega a régua e liga A com B, B com C e C com A. Olha que legal, já tá tomando forma!

Desenhando o Triângulo ABC

Com os pontos A(2,1), B(2,6) e C(7,1) devidamente marcados no plano cartesiano, o próximo passo é ligar esses vértices para formar o triângulo ABC. É super simples, gente! Pega uma régua (ou até mesmo a linha reta do seu caderno, se estiver fazendo em casa) e trace um segmento de reta do ponto A para o ponto B. Depois, trace outro segmento do ponto B para o ponto C, e finalize traçando o segmento de reta do ponto C de volta para o ponto A. Pronto! Você acabou de desenhar o triângulo ABC. Observem bem a figura que se formou. A gente já consegue ter uma ideia se ele é retângulo ou não, só de olhar, mas pra ter certeza, a gente precisa provar matematicamente, e é isso que vamos fazer na próxima etapa. A visualização é o primeiro passo, e o desenho no plano cartesiano nos ajuda demais a entender a geometria do problema. Se liga nesses detalhes: o ponto A e o ponto C estão na mesma altura (ambos com y=1), e o ponto A e o ponto B estão na mesma posição horizontal (ambos com x=2). Essas observações são pistas importantes para a gente entender o formato do triângulo e provar que ele é um triângulo retângulo. Continuem focados, que a parte mais interessante está por vir!

Provando que o Triângulo é Retângulo

Agora é a hora da verdade, galera! Vamos provar que o nosso triângulo ABC é, de fato, um triângulo retângulo. Pra isso, a gente vai usar uma propriedade super famosa da matemática: o Teorema de Pitágoras. Esse teorema diz que, em um triângulo retângulo, a soma dos quadrados dos catetos (os lados menores que formam o ângulo reto) é igual ao quadrado da hipotenusa (o lado maior, oposto ao ângulo reto). Pra aplicar Pitágoras, a gente primeiro precisa saber o comprimento de cada lado do nosso triângulo. Vamos lá calcular a distância entre os pontos?

Distância entre A(2,1) e B(2,6): Como os pontos A e B têm a mesma coordenada x (x=2), a distância entre eles é simplesmente a diferença nas coordenadas y. Então, AB = |6 - 1| = 5 unidades. Percebam que esse lado é vertical.
Distância entre A(2,1) e C(7,1): Da mesma forma, os pontos A e C têm a mesma coordenada y (y=1). Logo, a distância entre eles é a diferença nas coordenadas x. Então, AC = |7 - 2| = 5 unidades. Esse lado é horizontal.
Distância entre B(2,6) e C(7,1): Para calcular essa distância, vamos usar a fórmula da distância entre dois pontos (x1, y1) e (x2, y2), que é ${d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}}$ Aplicando para B(2,6) e C(7,1): BC = ${}$ BC = ${}$ BC = ${}$ BC = ${}$ BC = ${}$

Ufa! Calculamos todos os lados: AB = 5, AC = 5 e BC = ${}$

Agora, vamos testar o Teorema de Pitágoras. A gente precisa ver se a soma dos quadrados dos dois menores lados é igual ao quadrado do maior lado. No nosso caso, os lados AB e AC parecem ser os catetos, e BC a hipotenusa. Vamos conferir:

AB² + AC² = 5² + 5² = 25 + 25 = 50

Agora, vamos calcular o quadrado do lado BC:

BC² = ( ${}$ )² = ${}$

Olha só que interessante, galera! O valor de AB² + AC² (que é 50) é exatamente igual ao valor de BC² (que também é 50). Isso significa que o nosso triângulo ABC satisfaz o Teorema de Pitágoras! Portanto, o triângulo ABC é um triângulo retângulo. E mais, como dois lados (AB e AC) têm o mesmo comprimento, ele é um triângulo retângulo isósceles! O ângulo reto está formado pelos lados AB e AC, ou seja, no vértice A.

Calculando a Área do Triângulo Retângulo

Agora que a gente já provou que o triângulo é retângulo e identificou os catetos, calcular a área fica moleza! A fórmula da área de um triângulo é ${}$ onde 'b' é a base e 'h' é a altura. Em um triângulo retângulo, a gente pode usar os dois catetos como base e altura, já que eles são perpendiculares entre si (formam o ângulo de 90 graus). No nosso caso, os catetos são os lados AB e AC, ambos com comprimento 5.

Então, podemos fazer assim:

Área = ${}$

Logo, a área do triângulo ABC é 12,5 unidades quadradas. Simples assim! A gente usou as coordenadas pra desenhar, provou que era retângulo usando Pitágoras e calculou a área usando a fórmula básica. Mandaram bem demais, pessoal!

Conclusão

E aí, curtiram o desafio? Provamos que o triângulo formado pelos pontos A(2,1), B(2,6) e C(7,1) é um triângulo retângulo, e calculamos a sua área. Esse tipo de exercício é fundamental para solidificar o entendimento sobre geometria analítica e as propriedades dos triângulos. Continuem praticando, explorando novos problemas e, o mais importante, divirtam-se com a matemática! Até a próxima!