Solución De Inecuaciones: Intervalos Y Complementos

¡Qué onda, mi gente! Hoy vamos a desmenuzar un problemita de mates que seguro les va a volar la cabeza, pero tranqui, que lo haremos paso a paso. Vamos a calcular el complemento del intervalo del conjunto solución para una inecuación que se las trae. ¡Prepárense porque esto se pone bueno!

La inecuación que tenemos entre manos es: $6x(x + 1) + 6 \ge 9 + 4x(x + 2) + x^2$. Sé que a primera vista puede parecer un lío, pero confíen en mí, una vez que la simplifiquemos, verán que es más fácil de lo que pensaban. El objetivo final es encontrar esa parte del conjunto de números que no cumple la inecuación original. Así que, ¡manos a la obra y a darle con todo a estas matemáticas!

Desglosando la Inecuación: ¡A Simplificar se Ha Dicho!

Lo primero, y más importante, es poner orden en este relajo de números y variables. Vamos a simplificar la inecuación para que sea más manejable. Agarra tu lápiz y papel, ¡porque vamos a expandir y agrupar términos! Tenemos $6x(x + 1) + 6 \ge 9 + 4x(x + 2) + x^2$. Empecemos por el lado izquierdo: $6x$ multiplicado por $(x + 1)$ nos da $6x^2 + 6x$. Así que el lado izquierdo queda como $6x^2 + 6x + 6$.

Ahora, vamos con el lado derecho: $9 + 4x(x + 2) + x^2$. Primero, $4x$ multiplicado por $(x + 2)$ es $4x^2 + 8x$. Entonces, el lado derecho completo es $9 + 4x^2 + 8x + x^2$. ¡Ojo aquí! ¡Tenemos dos términos con $x^2$! Los juntamos para que todo quede más compacto: $4x^2 + x^2 = 5x^2$. Así que el lado derecho se convierte en $5x^2 + 8x + 9$.

Ya con los lados expandidos, nuestra inecuación se ve así: $6x^2 + 6x + 6 \ge 5x^2 + 8x + 9$. ¿Ven? Ya se va pareciendo a algo que conocemos. El siguiente paso es mover todos los términos a un solo lado para igualarla a cero. Esto es clave para resolver inecuaciones cuadráticas. Restaremos $5x^2$, $8x$ y $9$ de ambos lados. ¡Cuidado con los signos!

En el lado izquierdo, tendremos: $(6x^2 - 5x^2) + (6x - 8x) + (6 - 9)$. Hagamos las cuentas: $x^2 - 2x - 3$. Y en el lado derecho, como movimos todo, nos queda $0$. Entonces, la inecuación simplificada es: $x^2 - 2x - 3 \ge 0$. ¡Mucho mejor, ¿verdad?! Este es el corazón del problema que vamos a resolver.

Encontrando las Raíces: ¡Donde la Parábola Toca el Eje X!

Ahora que tenemos la forma simplificada $x^2 - 2x - 3 \ge 0$, el siguiente paso lógico es encontrar las raíces de la ecuación cuadrática asociada, es decir, cuándo $x^2 - 2x - 3 = 0$. Estas raíces son súper importantes porque nos indican los puntos exactos donde la gráfica de la parábola (porque sí, esto es una parábola) cruza el eje $x$. Estos puntos van a dividir nuestra recta numérica en intervalos, y en cada intervalo, la inecuación se comportará de una manera (será verdadera o falsa).

Para encontrar estas raíces, podemos usar la fórmula general para ecuaciones cuadráticas, $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$, donde en nuestra ecuación $a=1$, $b=-2$ y $c=-3$. Ojo con los signos, ¡que son los que nos juegan malas pasadas! Sustituimos los valores: $x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-3)}}{2(1)}$.

Vamos a calcular el discriminante primero, que es lo que está dentro de la raíz cuadrada: $(-2)^2 - 4(1)(-3) = 4 - (-12) = 4 + 12 = 16$. ¡Un número perfecto! Esto significa que nuestras raíces serán números enteros, ¡qué alivio!

Ahora seguimos con la fórmula: $x = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2}$. La raíz cuadrada de 16 es 4. Así que tenemos: $x = \frac{2 \pm 4}{2}$.

Esto nos da dos posibles valores para $x$:

1. $x_1 = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3$
2. $x_2 = \frac{2 - 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

¡Listo! Las raíces son $x = 3$ y $x = -1$. Estos son nuestros puntos clave. Imaginen la recta numérica. Estos dos números, -1 y 3, la van a dividir en tres partes: todo lo que es menor que -1, todo lo que está entre -1 y 3, y todo lo que es mayor que 3. En cada una de estas secciones, la expresión $x^2 - 2x - 3$ tendrá un signo determinado (positivo o negativo).

Recuerden que nuestra inecuación es $x^2 - 2x - 3 \ge 0$. Esto significa que buscamos los intervalos donde la expresión es positiva o igual a cero. Las raíces, -1 y 3, son importantes porque ahí la expresión es exactamente cero, así que también formarán parte de nuestra solución. ¡Ya casi llegamos a la meta!

Intervalos de Solución: ¡Dónde la Magia Sucede!

Con las raíces $x = -1$ y $x = 3$ ya identificadas, ¡es hora de determinar los intervalos de solución! Como dijimos, estos puntos dividen nuestra recta numérica en tres regiones: $(-\infty, -1)$, $(-1, 3)$ y $(3, \infty)$. Ahora, tenemos que averiguar en cuáles de estas regiones la expresión $x^2 - 2x - 3$ es mayor o igual a cero. La clave aquí es recordar que $x^2 - 2x - 3$ representa una parábola que se abre hacia arriba (porque el coeficiente de $x^2$ es positivo, ¡$a=1$!). Esto significa que la parábola estará por encima del eje $x$ (es decir, será positiva) fuera de sus raíces, y por debajo del eje $x$ (será negativa) entre sus raíces.

Para confirmarlo, podemos hacer una pequeña prueba eligiendo un número de cada intervalo y sustituyéndolo en la expresión $x^2 - 2x - 3$. ¡Vamos a ver!

1. Intervalo $(-\infty, -1)$: Elegimos un número fácil, por ejemplo, $x = -2$. Sustituimos: $(-2)^2 - 2(-2) - 3 = 4 + 4 - 3 = 5$. ¡Positivo! Como el resultado es positivo ($5 > 0$), este intervalo sí cumple la inecuación $x^2 - 2x - 3 \ge 0$.

2. Intervalo $(-1, 3)$: Elegimos un número fácil, por ejemplo, $x = 0$. Sustituimos: $(0)^2 - 2(0) - 3 = 0 - 0 - 3 = -3$. ¡Negativo! Como el resultado es negativo ($-3 < 0$), este intervalo no cumple la inecuación $x^2 - 2x - 3 \ge 0$.

3. Intervalo $(3, \infty)$: Elegimos un número fácil, por ejemplo, $x = 4$. Sustituimos: $(4)^2 - 2(4) - 3 = 16 - 8 - 3 = 5$. ¡Positivo! Como el resultado es positivo ($5 > 0$), este intervalo sí cumple la inecuación $x^2 - 2x - 3 \ge 0$.

Ahora, no olviden que la inecuación incluye el 'igual' ($\ge 0$), así que las raíces $x = -1$ y $x = 3$, donde la expresión es exactamente cero, también son parte de la solución. Por lo tanto, los intervalos que satisfacen la inecuación son $(-\infty, -1]$ y $[3, \infty)$. ¡Este es nuestro conjunto solución!

En notación de intervalos, el conjunto solución ($S$) es: $S = (-\infty, -1] \cup [3, \infty)$. Esto significa que todos los números desde menos infinito hasta -1 (incluido) y todos los números desde 3 (incluido) hasta infinito positivo, son la respuesta a nuestra inecuación original.

Calculando el Complemento: ¡Lo Que Falta para Completar!

¡Llegamos a la parte final, mi gente! Ya encontramos el conjunto solución ($S$) de la inecuación. Ahora, el reto es calcular el complemento del intervalo del conjunto solución. ¿Qué significa esto? Pues, básicamente, es encontrar todos los números que no están en el conjunto solución. Si pensamos en toda la recta numérica como el universo de posibilidades, el complemento de $S$ son todos los puntos que no pertenecen a $S$.

Nuestro conjunto solución es $S = (-\infty, -1] \cup [3, \infty)$. Esto incluye todos los números hasta -1 (incluido) y todos los números desde 3 (incluido) en adelante. Visualicen la recta numérica: tenemos cubierto todo a la izquierda de -1 y todo a la derecha de 3.

¿Qué parte de la recta numérica nos quedó sin cubrir? ¡Exacto! El trozo que está entre -1 y 3, pero sin incluir a -1 y 3, porque estos ya están en nuestro conjunto solución $S$. El intervalo que no está cubierto es el que va desde -1 (sin incluirlo) hasta 3 (sin incluirlo).

En notación de intervalos, este trozo que falta es $(-1, 3)$.

Por lo tanto, el complemento del conjunto solución, que a menudo se denota como $S^c$ o $S'$, es precisamente este intervalo abierto: $S^c = (-1, 3)$.

Esto significa que si tomamos cualquier número dentro del intervalo $(-1, 3)$ (por ejemplo, 0, 1, 2, o cualquier decimal entre ellos), ese número no va a satisfacer la inecuación original $6x(x + 1) + 6 \ge 9 + 4x(x + 2) + x^2$. Y, viceversa, cualquier número fuera de este intervalo abierto (incluyendo -1 y 3) sí la va a satisfacer.

¡Y eso es todo, cracks! Hemos pasado de una inecuación que parecía un monstruo a encontrar su conjunto solución y, finalmente, su complemento. Recuerden siempre simplificar, encontrar las raíces, probar los intervalos y, si se pide, calcular el complemento. ¡Las matemáticas son como un juego, solo hay que saber las reglas y practicar! ¡Hasta la próxima aventura matemática!