Resolviendo Inecuaciones: Guía Paso A Paso Con Explicaciones

¡Hola, amigos! Hoy vamos a sumergirnos en el mundo de las inecuaciones. Específicamente, vamos a resolver la inecuación que mencionaste: (x² - 1) / (x² + 1) ≤ 0. Pero no se preocupen, ¡lo haremos juntos y entenderemos cada paso! Las inecuaciones pueden parecer un poco intimidantes al principio, pero con un poco de práctica y una buena explicación, verán que son bastante manejables. Así que, prepárense para aprender y, lo más importante, ¡para entender! Vamos a desglosar este problema paso a paso para que no se pierdan en el camino. La clave está en ser metódicos y entender el porqué detrás de cada acción.

Entendiendo el Problema y Primeros Pasos

Primero, ¿qué es una inecuación? Básicamente, es una desigualdad que involucra una o más variables. En lugar de una igualdad (=), usamos símbolos como ≤ (menor o igual que), ≥ (mayor o igual que), < (menor que) o > (mayor que). En nuestro caso, tenemos la inecuación (x² - 1) / (x² + 1) ≤ 0. El objetivo es encontrar los valores de 'x' que hacen que esta expresión sea verdadera. Para resolverla, seguiremos un proceso lógico que nos permitirá encontrar ese conjunto de valores.

El primer paso crucial es identificar los puntos críticos. Estos son los valores de 'x' donde la expresión (x² - 1) / (x² + 1) cambia de signo. Esto ocurre en dos lugares: donde el numerador es igual a cero y donde el denominador es igual a cero. En este caso, el denominador (x² + 1) nunca es igual a cero para ningún número real 'x', ya que x² siempre es positivo o cero, y al sumar 1, siempre obtenemos un número positivo. Sin embargo, el numerador (x² - 1) sí puede ser cero. Así que, lo primero que hacemos es encontrar esos valores. Establecemos el numerador igual a cero: x² - 1 = 0.

Resolviendo esta ecuación cuadrática, sumamos 1 a ambos lados: x² = 1. Luego, tomamos la raíz cuadrada de ambos lados. Recuerden, al tomar la raíz cuadrada, obtenemos dos soluciones: una positiva y una negativa. Por lo tanto, x = 1 y x = -1 son nuestros puntos críticos. Estos puntos son importantes porque dividen la recta numérica en intervalos donde la expresión (x² - 1) / (x² + 1) podrá ser positiva o negativa. Comprender esto es fundamental para resolver la inecuación correctamente. Así que, ya tenemos nuestros primeros dos valores importantes. ¡Vamos bien, chicos!

Análisis de los Intervalos y Determinación de la Solución

Ahora que tenemos los puntos críticos x = -1 y x = 1, dividimos la recta numérica en tres intervalos: (-∞, -1), (-1, 1) y (1, ∞). La clave aquí es determinar el signo de la expresión (x² - 1) / (x² + 1) en cada uno de estos intervalos. Para ello, elegimos un valor de 'x' dentro de cada intervalo y lo sustituimos en la expresión. El signo del resultado nos indicará el signo de la expresión en todo ese intervalo.

Primer Intervalo: (-∞, -1). Elijamos x = -2. Sustituimos en la expresión: ((-2)² - 1) / ((-2)² + 1) = (4 - 1) / (4 + 1) = 3 / 5. El resultado es positivo. Esto significa que, en el intervalo (-∞, -1), la expresión es positiva.

Segundo Intervalo: (-1, 1). Elijamos x = 0. Sustituimos: (0² - 1) / (0² + 1) = (-1) / 1 = -1. El resultado es negativo. En el intervalo (-1, 1), la expresión es negativa.

Tercer Intervalo: (1, ∞). Elijamos x = 2. Sustituimos: (2² - 1) / (2² + 1) = (4 - 1) / (4 + 1) = 3 / 5. El resultado es positivo. En el intervalo (1, ∞), la expresión es positiva.

Ahora que sabemos el signo de la expresión en cada intervalo, podemos determinar la solución de la inecuación. Recordemos que queremos que la expresión (x² - 1) / (x² + 1) sea menor o igual a cero (≤ 0). Esto significa que buscamos los intervalos donde la expresión es negativa o cero. Vimos que la expresión es negativa en el intervalo (-1, 1). Además, la expresión es cero cuando x = -1 y x = 1 (ya que el numerador es cero en estos puntos). Por lo tanto, la solución de la inecuación es el intervalo cerrado [-1, 1]. ¡Felicidades, hemos resuelto la inecuación! Este paso de analizar los intervalos y probar valores es fundamental para asegurar que nuestra solución sea correcta. ¡Vamos, que ya casi terminamos!

Consideraciones Finales y Conclusión

Un punto crucial es entender por qué usamos corchetes [ ] para indicar el intervalo cerrado [-1, 1]. Los corchetes indican que los valores -1 y 1 están incluidos en la solución, porque la inecuación es ≤ 0, lo que significa que la expresión puede ser igual a cero. Si la inecuación fuera < 0 (menor que cero), usaríamos paréntesis ( ) para indicar que los extremos no están incluidos. En este caso, la solución sería (-1, 1). Otro aspecto importante es entender por qué el denominador (x² + 1) no afecta la solución en términos de intervalos. Como mencionamos, x² + 1 siempre es positivo, por lo que nunca puede ser cero. Esto significa que no hay valores de 'x' que hagan que la expresión original sea indefinida (división por cero), y por lo tanto, no hay puntos críticos adicionales provenientes del denominador. Siempre debemos prestar atención a estas consideraciones para evitar errores. Repasar cada paso, practicar con diferentes ejemplos y no tener miedo a preguntar son las claves para dominar las inecuaciones.

Finalmente, la solución a nuestra inecuación (x² - 1) / (x² + 1) ≤ 0 es el intervalo cerrado [-1, 1]. Esto significa que cualquier valor de 'x' dentro de este intervalo, incluyendo -1 y 1, satisface la desigualdad original. ¡Hemos llegado al final! Espero que esta explicación detallada les haya sido útil. Recuerden que la práctica hace al maestro.

Recuerden repasar este proceso con otros ejemplos para solidificar su comprensión. ¡Hasta la próxima, y sigan explorando el fascinante mundo de las matemáticas!

Resumen de los Pasos Clave:

1. Encuentra los puntos críticos: Iguala el numerador a cero y resuelve. Identifica los valores que hacen cero el numerador.
2. Analiza el denominador: Verifica si el denominador puede ser cero. Si es así, identifica los valores de 'x' que lo hacen cero (estos valores no estarán en la solución).
3. Divide la recta numérica: Usa los puntos críticos para dividir la recta numérica en intervalos.
4. Prueba valores: Elige un valor de 'x' dentro de cada intervalo y evalúa la expresión original.
5. Determina la solución: Identifica los intervalos donde la expresión satisface la inecuación (≥ 0, ≤ 0, > 0, < 0), considerando si los extremos deben incluirse o no (corchetes o paréntesis). ¡Y listo! ¡A practicar, chicos!