Regla De Cramer: Resuelve Y Verifica Tus Ecuaciones Lineales

¡Hola, matemáticos! ¿Listos para desentrañar el misterio de las ecuaciones lineales? Hoy vamos a sumergirnos en un método súper útil y elegante: la Regla de Cramer. Si alguna vez te has topado con un sistema de ecuaciones lineales y te has preguntado cuál es la forma más eficiente de hallar esa solución única (¡si es que existe!), pues has llegado al lugar correcto. Vamos a desglosar este método paso a paso, usando un ejemplo genial que nos ayudará a entender todo el proceso. Prepárense, porque esto se va a poner interesante.

El objetivo principal de la Regla de Cramer es, básicamente, proporcionarnos una fórmula directa para encontrar los valores de las variables en un sistema de ecuaciones lineales. Piensen en ello como una receta matemática que, si sigues los pasos, te lleva directamente al resultado. Es especialmente útil cuando tenemos sistemas con el mismo número de ecuaciones que de incógnitas (lo que llamamos sistemas cuadrados). ¿Y lo mejor? No solo nos dice cuál es la solución, sino que también nos ayuda a verificar si esa solución es correcta. ¡Doble ganancia, señores!

Para que esto sea pan comido, vamos a trabajar con este sistema de ecuaciones que nos han propuesto:

$3x_1 + 6x_2 - 6x_3 = 9 \ 2x_1 - 5x_2 + 4x_3 = 6 \ -x_1 + 16x_2 - 14x_3 = -3$

Antes de lanzarnos de cabeza a la Regla de Cramer, es crucial asegurarnos de que nuestro sistema esté en el formato correcto. Esto significa que todas las variables deben estar alineadas en el lado izquierdo de la ecuación y las constantes en el lado derecho. ¡Y justo así lo tenemos! ¡Perfecto! Así que, ¡manos a la obra!

Paso 1: El Determinante Principal (D)

Lo primerísimo que necesitamos es calcular el determinante principal (D) de la matriz de coeficientes del sistema. ¿Qué es esto, preguntarán? Pues, básicamente, tomamos los números que acompañan a nuestras variables ($x_1, x_2, x_3$) y los organizamos en una matriz. Para nuestro sistema, esa matriz se ve así:

$$A = \begin{pmatrix} 3 & 6 & -6 \\ 2 & -5 & 4 \\ -1 & 16 & -14 \end{pmatrix}$$

Ahora, calculamos el determinante de esta matriz. Para una matriz de 3x3, hay varias formas de hacerlo, pero la más común es usar la regla de Sarrus o el método de cofactores. Usemos la regla de Sarrus para este ejemplo, ¡es como un truco de magia para determinantes 3x3!

1. Escribimos la matriz y repetimos las dos primeras columnas a su derecha:

   $$\begin{pmatrix} 3 & 6 & -6 & | & 3 & 6 \\ 2 & -5 & 4 & | & 2 & -5 \\ -1 & 16 & -14 & | & -1 & 16 \end{pmatrix}$$

2. Sumamos los productos de las diagonales principales (de arriba a la izquierda hacia abajo a la derecha):

   • $3 imes (-5) imes (-14) = 210$
   • $6 imes 4 imes (-1) = -24$
   • $(-6) imes 2 imes 16 = -192$

   Suma de diagonales principales = $210 + (-24) + (-192) = -6$

3. Restamos los productos de las diagonales secundarias (de arriba a la derecha hacia abajo a la izquierda):

   • $(-6) imes (-5) imes (-1) = -30$
   • $3 imes 4 imes 16 = 192$
   • $6 imes 2 imes (-14) = -168$

   Suma de diagonales secundarias = $(-30) + 192 + (-168) = -6$

4. El determinante principal (D) es la resta de la suma de las diagonales principales menos la suma de las diagonales secundarias:

   $D = ( ext{Suma Diagonales Principales}) - ( ext{Suma Diagonales Secundarias})$ $D = (-6) - (-6) = -6 + 6 = 0$

¡Ajá! ¡Nuestro determinante principal es $D = 0$! Esto, mis estimados, es una señal muy importante. Cuando el determinante principal es cero, el sistema de ecuaciones no tiene una solución única. Podría no tener solución o tener infinitas soluciones. La Regla de Cramer, en su forma más pura, solo funciona para sistemas con solución única (donde $D eq 0$).

Pero no se desanimen, ¡no todo está perdido! Aunque la Regla de Cramer no nos dé directamente la solución en este caso, el cálculo del determinante principal nos ha dado información valiosísima. En un escenario donde $D eq 0$, continuaríamos para encontrar las soluciones. Vamos a imaginar por un momento que nuestro determinante hubiera sido diferente de cero, para que vean cómo seguiría el proceso, y luego discutiremos qué hacer cuando $D=0$.

Paso 2: Calculando los Determinantes para las Variables ($D_{x1}, D_{x2}, D_{x3}$)

Si $D$ no fuera cero, el siguiente paso sería calcular determinantes similares, pero reemplazando la columna de coeficientes de la variable que estamos buscando con la columna de los términos constantes (los números del lado derecho de las ecuaciones). La columna de constantes es: $\begin{pmatrix} 9 \\ 6 \\ -3 \end{pmatrix}$.

• Para encontrar $D_{x1}$: Reemplazamos la primera columna (coeficientes de $x_1$) por la columna de constantes.

  $$D_{x1} = \det \begin{pmatrix} 9 & 6 & -6 \\ 6 & -5 & 4 \\ -3 & 16 & -14 \end{pmatrix}$$

  Calculando este determinante (usando Sarrus de nuevo):

  • Diagonales principales: $(9 imes -5 imes -14) + (6 imes 4 imes -3) + (-6 imes 6 imes 16) = 630 - 72 - 576 = -18$
  • Diagonales secundarias: $(-6 imes -5 imes -3) + (9 imes 4 imes 16) + (6 imes 6 imes -14) = -90 + 576 - 504 = -18$
  • $D_{x1} = (-18) - (-18) = 0$

• Para encontrar $D_{x2}$: Reemplazamos la segunda columna (coeficientes de $x_2$) por la columna de constantes.

  $$D_{x2} = \det \begin{pmatrix} 3 & 9 & -6 \\ 2 & 6 & 4 \\ -1 & -3 & -14 \end{pmatrix}$$

  Calculando este determinante:

  • Diagonales principales: $(3 imes 6 imes -14) + (9 imes 4 imes -1) + (-6 imes 2 imes -3) = -252 - 36 + 36 = -252$
  • Diagonales secundarias: $(-6 imes 6 imes -1) + (3 imes 4 imes -3) + (9 imes 2 imes -14) = 36 - 36 - 252 = -252$
  • $D_{x2} = (-252) - (-252) = 0$

• Para encontrar $D_{x3}$: Reemplazamos la tercera columna (coeficientes de $x_3$) por la columna de constantes.

  $$D_{x3} = \det \begin{pmatrix} 3 & 6 & 9 \\ 2 & -5 & 6 \\ -1 & 16 & -3 \end{pmatrix}$$

  Calculando este determinante:

  • Diagonales principales: $(3 imes -5 imes -3) + (6 imes 6 imes -1) + (9 imes 2 imes 16) = 45 - 36 + 288 = 297$
  • Diagonales secundarias: $(9 imes -5 imes -1) + (3 imes 6 imes 16) + (6 imes 2 imes -3) = 45 + 288 - 36 = 297$
  • $D_{x3} = 297 - 297 = 0$

¡Vaya, vaya! En nuestro ejemplo particular, ¡todos los determinantes ($D, D_{x1}, D_{x2}, D_{x3}$) resultaron ser cero! Esto confirma lo que ya sabíamos por $D=0$: el sistema no tiene una solución única.

Paso 3: Hallando la Solución (Si $D

eq 0$)

Si nuestro determinante principal $D$ hubiera sido diferente de cero (¡lo cual es lo más común en muchos problemas!), entonces la solución única para cada variable se calcularía de la siguiente manera:

• $x_1 = \frac{D_{x1}}{D}$
• $x_2 = \frac{D_{x2}}{D}$
• $x_3 = \frac{D_{x3}}{D}$

¡Así de simple! Solo es dividir el determinante de cada variable entre el determinante principal. Es como si Cramer nos diera las llaves maestras para cada variable.

¿Qué Pasa Cuando $D=0$? Interpretando los Resultados

Como vimos en nuestro caso, cuando $D=0$, la Regla de Cramer nos dice que no hay una solución única. Esto puede significar dos cosas:

1. El sistema no tiene solución (incompatible): Esto ocurre si al menos uno de los determinantes $D_{x1}, D_{x2},$ o $D_{x3}$ es diferente de cero, mientras que $D$ sí es cero. Por ejemplo, si $D=0$ pero $D_{x1} eq 0$, el sistema es inconsistente.

2. El sistema tiene infinitas soluciones (compatible indeterminado): Esto ocurre si $D=0$ y todos los determinantes $D_{x1}, D_{x2},$ y $D_{x3}$ también son cero. Este es precisamente nuestro caso: $D=0, D_{x1}=0, D_{x2}=0, D_{x3}=0$. ¡Esto nos dice que hay infinitas soluciones!

En un escenario de infinitas soluciones, la Regla de Cramer no nos da directamente los valores específicos. Para encontrar las soluciones, necesitaríamos usar otros métodos, como la eliminación gaussiana o el método de sustitución, para expresar las variables en términos de un parámetro (por ejemplo, expresar $x_1$ y $x_2$ en función de $x_3$).

Por ejemplo, usando eliminación gaussiana en nuestro sistema original:

$$\begin{pmatrix} 3 & 6 & -6 & | & 9 \\ 2 & -5 & 4 & | & 6 \\ -1 & 16 & -14 & | & -3 \end{pmatrix}$$

Podríamos reducirla a una forma escalonada. Después de realizar las operaciones elementales, llegaríamos a algo como:

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 & | & 0 \\ 0 & 1 & -1 & | & 1 \\ 0 & 0 & 0 & | & 0 \end{pmatrix}$$

Esta matriz reducida nos da las ecuaciones:

• $x_1 - 2x_3 = 0 implies x_1 = 2x_3$
• $x_2 - x_3 = 1

$

• $0 = 0$ (Esta última fila confirma la dependencia lineal y la existencia de infinitas soluciones).

Si dejamos que $x_3 = t$ (donde $t$ es cualquier número real), entonces la solución general del sistema es:

$x_1 = 2t$ $x_2 = 1 + t$ $x_3 = t$

¡Ahí lo tienen! ¡Infinitas soluciones!

Paso 4: Comprobando la Solución

La Regla de Cramer tiene una ventaja genial: la comprobación de la solución es inherente al proceso, pero también podemos verificarla sustituyendo los valores encontrados en las ecuaciones originales. Si $D eq 0$ y calculamos $x_1, x_2, x_3$, simplemente los sustituimos en las tres ecuaciones:

• $3x_1 + 6x_2 - 6x_3 = 9$
• $2x_1 - 5x_2 + 4x_3 = 6$
• $-x_1 + 16x_2 - 14x_3 = -3$

Si los valores calculados satisfacen las tres ecuaciones, ¡la solución es correcta!

En nuestro caso, como tenemos infinitas soluciones, la comprobación se hace con la forma general:

1. Primera ecuación: $3(2t) + 6(1+t) - 6(t) = 6t + 6 + 6t - 6t = 6t + 6$. ¡Opa! Algo no cuadra aquí. Revisemos las operaciones. Parece que hubo un error en la reducción gaussiana o en la comprobación. Vamos a rehacer la comprobación de la forma general que obtuvimos: $x_1 = 2t, x_2 = 1 + t, x_3 = t$.

   • Ecuación 1: $3x_1 + 6x_2 - 6x_3 = 3(2t) + 6(1+t) - 6(t) = 6t + 6 + 6t - 6t = 6t + 6$. Esto debería ser igual a 9. Entonces $6t + 6 = 9

     $6t = 3

     $t = 1/2$. Esto significa que solo una de las infinitas soluciones podría ser válida, lo cual contradice la idea de infinitas soluciones. ¡Algo está mal!

   Revisemos la matriz reducida de nuevo. Parece que hubo un error. Vamos a hacer la reducción gaussiana de manera más cuidadosa.

   $$\begin{pmatrix} 3 & 6 & -6 & | & 9 \\ 2 & -5 & 4 & | & 6 \\ -1 & 16 & -14 & | & -3 \end{pmatrix}$$

   Dividimos la fila 1 entre 3:

   $$\begin{pmatrix} 1 & 2 & -2 & | & 3 \\ 2 & -5 & 4 & | & 6 \\ -1 & 16 & -14 & | & -3 \end{pmatrix}$$

   $R_2 ightarrow R_2 - 2R_1$ y $R_3 ightarrow R_3 + R_1$:

   $$\begin{pmatrix} 1 & 2 & -2 & | & 3 \\ 0 & -9 & 8 & | & 0 \\ 0 & 18 & -16 & | & 0 \end{pmatrix}$$

   $R_3 ightarrow R_3 + 2R_2$:

   $$\begin{pmatrix} 1 & 2 & -2 & | & 3 \\ 0 & -9 & 8 & | & 0 \\ 0 & 0 & 0 & | & 0 \end{pmatrix}$$

   Bien, ahora sí, esta matriz reducida nos da las ecuaciones:

   • $x_1 + 2x_2 - 2x_3 = 3$

   • $-9x_2 + 8x_3 = 0

   • $0 = 0$

   De la segunda ecuación: $-9x_2 = -8x_3

   $x_2 = \frac{8}{9}x_3$
   

   Sustituimos $x_2$ en la primera ecuación:

   $x_1 + 2(\frac{8}{9}x_3) - 2x_3 = 3$ $x_1 + \frac{16}{9}x_3 - \frac{18}{9}x_3 = 3$ $x_1 - \frac{2}{9}x_3 = 3$ $x_1 = 3 + \frac{2}{9}x_3$

   Si dejamos que $x_3 = t$ (donde $t$ es cualquier número real), la solución general es:

   $x_1 = 3 + \frac{2}{9}t$ $x_2 = \frac{8}{9}t$ $x_3 = t$

   Ahora, ¡comprobemos esta forma general!

   • Ecuación 1: $3x_1 + 6x_2 - 6x_3 = 3(3 + \frac{2}{9}t) + 6(\frac{8}{9}t) - 6(t) = 9 + \frac{6}{9}t + \frac{48}{9}t - 6t = 9 + \frac{2}{3}t + \frac{16}{3}t - \frac{18}{3}t = 9 + (\frac{2+16-18}{3})t = 9 + 0t = 9$. ¡Correcto!

   • Ecuación 2: $2x_1 - 5x_2 + 4x_3 = 2(3 + \frac{2}{9}t) - 5(\frac{8}{9}t) + 4(t) = 6 + \frac{4}{9}t - \frac{40}{9}t + \frac{36}{9}t = 6 + (\frac{4-40+36}{9})t = 6 + 0t = 6$. ¡Correcto!

   • Ecuación 3: $-x_1 + 16x_2 - 14x_3 = -(3 + \frac{2}{9}t) + 16(\frac{8}{9}t) - 14(t) = -3 - \frac{2}{9}t + \frac{128}{9}t - \frac{126}{9}t = -3 + (\frac{-2+128-126}{9})t = -3 + 0t = -3$. ¡Correcto!

   ¡Perfecto! Ahora sí, la comprobación de la forma general confirma que tenemos infinitas soluciones.

Conclusión: La Potencia de Cramer y Más Allá

Así que, muchachos, la Regla de Cramer es una herramienta fantástica para resolver sistemas de ecuaciones lineales, especialmente cuando buscas una solución única y quieres un método directo. Nos da una fórmula elegante y, además, el cálculo de los determinantes nos dice mucho sobre la naturaleza de la solución (única, ninguna o infinita). Recuerden siempre que si el determinante principal $D$ es cero, la Regla de Cramer por sí sola no te da la solución, sino que te indica que debes usar otros métodos para determinar si el sistema es incompatible o tiene infinitas soluciones.

El cálculo de los determinantes ($D, D_{x1}, D_{x2}, D_{x3}$) es el corazón del método. Si $D eq 0$, las divisiones directas $x_i = D_{xi}/D$ nos dan la respuesta. Si $D=0$, y algún $D_{xi} eq 0$, ¡no hay solución! Y si $D=0$ y todos los $D_{xi}=0$, ¡prepárense para infinitas soluciones! Este último caso requiere un análisis adicional con métodos como la eliminación gaussiana, como vimos.

Espero que este recorrido por la Regla de Cramer les haya sido de gran ayuda. ¡Practicar con diferentes sistemas es la clave para dominarlo! ¡Hasta la próxima aventura matemática, colegas!