Maximiza Tus Ingresos: Anlisis De Funcin De Demanda

¡Hola, chicos y chicas! Hoy vamos a sumergirnos en el fascinante mundo de las matemticas aplicadas a los negocios, ms especficamente, a una tienda de accesorios tecnolgicos. Imaginen que esta tienda tiene una funcin de ingreso total mensual que describe cmo sus ganancias, en miles de soles, se relacionan con la cantidad de artculos vendidos, 'q'. Esta funcin es I(q) = -q² + 12q. Suena un poco abstracto, ¿verdad? Pero no se preocupen, vamos a desglosarlo paso a paso para que vean cmo estas frmulas nos ayudan a entender y mejorar el rendimiento de un negocio. Piensen en esto como el mapa del tesoro para maximizar sus ganancias. Entender estas curvas no es solo para matemticos, sino para cualquiera que quiera tener xito en el mundo empresarial actual. Vamos a aprender a visualizar estas funciones, a entender su comportamiento y, lo ms importante, a usar esa informacin para tomar decisiones inteligentes. As que, preprense para un viaje emocionante donde los nmeros se convierten en herramientas poderosas para el crecimiento.

Desentraando la Funcin de Ingreso Total

Lo primero es lo primero, analicemos a fondo esa funcin de ingreso total: I(q) = -q² + 12q. Ustedes ya saben que 'I' representa el ingreso total en miles de soles y 'q' es la cantidad de unidades vendidas. La parte interesante aqu es la forma de esta funcin. Es una parbola porque tiene un trmino cuadrático (el '-q²'). Y lo ms importante, como el coeficiente del trmino cuadrático es negativo (-1), esta parábola se abre hacia abajo. ¿Qu significa eso en trminos de negocio? Significa que hay un punto mximo de ingresos. Si venden muy pocos productos, sus ingresos no sern tan altos. Si venden muchsimos productos, eventualmente sus ingresos podrn empezar a disminuir. Esto tiene sentido en el mundo real, ¿verdad? Quizs para vender muchsimos productos necesiten bajar los precios, o tal vez el mercado se sature. El punto clave es que existe un nivel ptimo de ventas para maximizar las ganancias. El trmino '+12q' indica que, inicialmente, cada unidad vendida aade 12 unidades monetarias (en miles) al ingreso total. Sin embargo, el trmino '-q²' representa algo que frena ese crecimiento lineal, probablemente debido a factores como la reduccin de precios necesaria para vender ms unidades, o el aumento de los costos asociados con una mayor produccin o inventario. Nuestro objetivo, chicos, es encontrar ese pico de la parábola, ese punto dulce donde los ingresos son los mximos. Para ello, no solo vamos a graficarla, sino que tambin vamos a explorar un concepto clave: la recta tangente. Esta herramienta nos ayudar a entender la velocidad a la que cambian los ingresos en un punto especfico, lo cual es crucial para la toma de decisiones informadas.

a) Esbozando la Gráfica y la Recta Tangente

Ahora, pongamos manos a la obra con la parte grfica. Trazar la grfica de I(q) = -q² + 12q es como dibujar el perfil de nuestras ganancias. Como dijimos, es una parábola que se abre hacia abajo. Para esbozarla, necesitamos algunos puntos clave. Primero, encontremos las intersecciones con el eje 'q' (donde el ingreso es cero). Si I(q) = 0, entonces -q² + 12q = 0. Factorizando, obtenemos q(-q + 12) = 0. Esto nos da dos soluciones: q = 0 y q = 12. As que, la parábola cruza el eje 'q' en 0 y 12. Esto significa que si la tienda vende 0 unidades, sus ingresos son 0, lo cual es obvio. Y si vende 12 unidades, sus ingresos tambin son 0 (esto podra indicar una estrategia de precios o un punto de saturacin). El punto mximo de la parábola ocurre en el vrtice. La coordenada 'q' del vrtice se calcula como -b / 2a, donde 'a' es -1 y 'b' es 12. Entonces, q = -12 / (2 * -1) = -12 / -2 = 6. Cuando q = 6, el ingreso es I(6) = -(6)² + 12(6) = -36 + 72 = 36. As que, el vrtice est en (6, 36). Esto significa que la tienda maximiza sus ingresos cuando vende 6 unidades, obteniendo un ingreso de 36 mil soles. Con estos puntos (0,0), (12,0) y el vrtice (6,36), podemos esbozar una parábola que se abre hacia abajo.

Pero eso no es todo, ¡tenemos que trazar la recta tangente en q = 7! La recta tangente nos muestra la pendiente de la curva en un punto especfico, es decir, cmo est cambiando el ingreso en ese preciso instante. Para encontrar la ecuacin de la recta tangente, primero necesitamos la derivada de la funcin de ingreso, I'(q). La derivada de I(q) = -q² + 12q es I'(q) = -2q + 12. Esta derivada representa la tasa de cambio instantnea del ingreso. Ahora, evaluamos esta derivada en q = 7: I'(7) = -2(7) + 12 = -14 + 12 = -2. Esto nos dice que la pendiente de la recta tangente en q = 7 es -2. ¿Y qu significa un pendiente negativa? Que en ese punto, si la tienda intenta vender una unidad ms, sus ingresos totales podran disminuir. Ahora necesitamos un punto en la recta. Ya sabemos que cuando q = 7, el ingreso es I(7) = -(7)² + 12(7) = -49 + 84 = 35. As que el punto es (7, 35). Usando la frmula de la recta y = y1 + m(x - x1), donde (x1, y1) es (7, 35) y m es -2, la ecuacin de la recta tangente es: y - 35 = -2(q - 7). Simplificando: y - 35 = -2q + 14 => y = -2q + 49. As que, la recta tangente en q=7 tiene la ecuacin y = -2q + 49. Al graficar esto, verán la parábola y una lnea recta que