Desigualdad Logarítmica: Log₂(3 - X) > 0

¡Qué onda, matemáticos y matemáticas! Hoy vamos a desmenuzar una desigualdad logarítmica que seguro te va a volar la cabeza, pero tranqui, que aquí te lo explicamos todo paso a paso. La onda es encontrar el conjunto solución de la desigualdad log₂(3 - x) > 0. Esto suena complicado, pero en realidad es más sencillo de lo que parece si seguimos la lógica y recordamos las propiedades de los logaritmos, ¿va?

Primero que nada, ¿qué onda con los logaritmos? Recuerden que el logaritmo de un número es el exponente al que tienes que elevar la base para obtener ese número. En nuestro caso, tenemos la base 2. La desigualdad nos dice que el logaritmo de (3 - x) con base 2 tiene que ser mayor que 0. Para que un logaritmo sea mayor que 0, el argumento del logaritmo (lo que está adentro del paréntesis, en este caso 3 - x) tiene que ser mayor que 1. ¡Así de fácil es la primera pista! Piensen en esto: si elevas 2 a la potencia de algo mayor que 0, ¿qué obtienes? ¡Pues un número mayor que 1! Por ejemplo, 2¹ = 2, 2² = 4, 2⁰.⁵ = √2... todos son mayores que 1. Entonces, la primera condición importante es que 3 - x > 1. ¡Ya estamos avanzando, equipo!

Ahora, no nos olvidemos de una regla de oro en los logaritmos: ¡el argumento siempre tiene que ser positivo! O sea, lo que está dentro del logaritmo, (3 - x), no puede ser cero ni negativo. Tiene que ser estrictamente mayor que cero. Esto nos da nuestra segunda condición fundamental: 3 - x > 0. ¿Por qué? Porque no puedes calcular el logaritmo de cero ni de un número negativo en los números reales. Imagina que intentas encontrar log₂(0) o log₂(-5); ¡simplemente no existe! Por lo tanto, esta condición es crucial para que la expresión log₂(3 - x) tenga sentido en primer lugar. Así que, mientras resolvemos la desigualdad, siempre debemos asegurarnos de que estamos trabajando dentro del dominio válido para el logaritmo.

Juntando estas dos condiciones, tenemos un sistema de desigualdades que debemos satisfacer al mismo tiempo. Primero, 3 - x > 1, y segundo, 3 - x > 0. Vamos a resolver la primera: si 3 - x > 1, restamos 3 a ambos lados y nos queda -x > 1 - 3, que es -x > -2. Ahora, para despejar x, multiplicamos (o dividimos) por -1. ¡Ojo aquí, raza! Cuando multiplicamos o dividimos una desigualdad por un número negativo, invertimos el signo de la desigualdad. Así que, -x > -2 se convierte en x < 2. ¡Perfecto! Ya tenemos una parte de nuestra solución.

Ahora, resolvamos la segunda desigualdad: 3 - x > 0. Restamos 3 a ambos lados y obtenemos -x > -3. De nuevo, multiplicamos (o dividimos) por -1 y volvemos a invertir el signo. Entonces, -x > -3 se convierte en x < 3. ¡Genial! Ahora tenemos dos condiciones que x debe cumplir: x < 2 y x < 3. ¿Cuál de las dos es más restrictiva? Piénsenlo bien. Si x tiene que ser menor que 2, automáticamente también es menor que 3. Por ejemplo, si x = 1.5, cumple x < 2 y también x < 3. Pero si x = 2.5, cumple x < 3 pero no cumple x < 2. Por lo tanto, la condición más fuerte, la que engloba a la otra, es x < 2. Esta es nuestra solución final para la desigualdad original, considerando todas las restricciones.

Así que, el conjunto solución de la desigualdad log₂(3 - x) > 0 es el conjunto de todos los números x tales que x es menor que 2. En notación de intervalos, esto se representa como (-∞, 2). ¡Se acabó el misterio! Recuerden siempre verificar las condiciones de existencia del logaritmo y aplicar las reglas de las desigualdades con cuidado. ¡Nos vemos en el próximo desafío matemático, cracks!

Dominio y Condición de Existencia de Logaritmos

¡Hey, banda! Hablemos un poquito más a fondo sobre por qué es tan importante el rollo del dominio en las desigualdades logarítmicas, como la que acabamos de resolver. Cuando trabajamos con funciones, especialmente con logaritmos, funciones trigonométricas o raíces cuadradas, hay ciertas reglas del juego que debemos seguir para que nuestras operaciones tengan sentido en el mundo de los números reales. Para los logaritmos, la condición de existencia es súper simple pero fundamental: el argumento del logaritmo, es decir, lo que está dentro del paréntesis, debe ser estrictamente mayor que cero. ¡Nada de ceros ni de negativos, eh!

En nuestro caso, la expresión es log₂(3 - x). El argumento aquí es (3 - x). Entonces, para que log₂(3 - x) esté definido, necesitamos que 3 - x > 0. ¿Por qué es esto tan importante? Imaginen que intentan calcular el logaritmo de cero o de un número negativo. Por ejemplo, ¿a qué potencia tengo que elevar 2 para que me dé 0? No hay respuesta. ¿Y a qué potencia elevo 2 para que me dé -8? Tampoco hay respuesta en los números reales. Las bases de los logaritmos (en este caso, la base es 2) son siempre positivas y distintas de 1. Cuando elevas un número positivo a cualquier potencia real, el resultado siempre es positivo. Por eso, el argumento de un logaritmo siempre debe ser positivo.

Esta condición de existencia no es solo un detalle, ¡es la puerta de entrada para resolver la desigualdad! Si no consideramos esto, podríamos llegar a soluciones que, aunque matemáticamente cumplan la desigualdad sin tener en cuenta el dominio, en realidad no son válidas porque la expresión logarítmica ni siquiera existe para esos valores. Piénsenlo como si estuvieran construyendo una casa: primero necesitan poner unos cimientos sólidos. La condición de existencia del logaritmo son esos cimientos. Si los cimientos no son estables, la casa (la solución) se va a caer.

Para la desigualdad log₂(3 - x) > 0, tenemos dos cosas que debemos cumplir simultáneamente:

1. La condición de existencia del logaritmo: 3 - x > 0. Resolviendo esto, como vimos antes, obtenemos x < 3. Esto significa que cualquier solución que encontremos para la desigualdad principal debe estar dentro del conjunto de números menores que 3. Si por ahí obtenemos un resultado como x < 5, ¡aguas! No podemos simplemente decir que x < 5 es la respuesta final, porque para valores de x entre 3 y 5, el logaritmo ni siquiera existe.

2. La propia desigualdad logarítmica: log₂(3 - x) > 0. Para que log₂(base) > 0 cuando la base es mayor que 1 (como en nuestro caso, la base es 2), el argumento debe ser mayor que 1. Es decir, 3 - x > 1. Resolviendo esto, obtenemos x < 2.

Ahora viene la parte de unir estas dos condiciones. Tenemos que encontrar los valores de x que cumplen ambas: x < 3 Y x < 2. Si un número es menor que 2, automáticamente también es menor que 3. Por ejemplo, si x = 1, es menor que 2 y también menor que 3. Pero si x = 2.5, es menor que 3, pero no es menor que 2. Por lo tanto, la condición más restrictiva, la que engloba a la otra y asegura que ambas se cumplan, es x < 2. En resumen, la solución final es x < 2, que en notación de intervalos es (-∞, 2).

Así que, chicos y chicas, nunca se olviden de revisar el dominio. Es un paso obligatorio y les ahorrará muchos dolores de cabeza y errores. Piensen en ello como una validación de la realidad para sus soluciones matemáticas. ¡A seguirle dando a las mates!

Propiedades Clave de los Logaritmos para Resolver Desigualdades

¡Qué onda, cracks de la matemática! Para machacarnos estas desigualdades logarítmicas, necesitamos tener bien frescas algunas propiedades de los logaritmos. No se me asusten, son súper lógicas y, una vez que les agarras el truco, se vuelven sus mejores aliadas. Vamos a repasar las que son clave para este tipo de problemas, enfocándonos en la desigualdad que nos ocupa: log₂(3 - x) > 0.

La primera propiedad, y quizás la más importante para entender el comportamiento de los logaritmos, es la relación entre el logaritmo y la exponenciación. Recuerden que la expresión log_b(a) = c es exactamente lo mismo que decir b^c = a. ¡Son dos caras de la misma moneda! En nuestro caso, tenemos log₂(3 - x) > 0. Si pensamos en esto como una ecuación temporal, log₂(3 - x) = y, entonces 2^y = 3 - x. La desigualdad nos dice que y (que es el logaritmo) tiene que ser mayor que 0. Entonces, si y > 0, ¿cómo es 2^y? Como la base es 2 (que es mayor que 1), cuando el exponente es positivo, el resultado siempre será mayor que 1. Por ejemplo, 2¹ = 2, 2² = 4, 2⁰.⁵ = √2 ≈ 1.414. Todos estos resultados son mayores que 1.

Esta es la propiedad fundamental que nos permite transformar la desigualdad logarítmica en una desigualdad algebraica más simple. Al saber que log_b(a) > c implica que a > b^c (siempre que b > 1), podemos reescribir nuestra desigualdad. Aplicando esto a log₂(3 - x) > 0, donde la base es b = 2 (mayor que 1), el argumento es a = 3 - x, y c = 0, obtenemos directamente que 3 - x > 2⁰. Y como sabemos que cualquier número distinto de cero elevado a la potencia de cero es 1, ¡boom! Tenemos 3 - x > 1. ¡Magia matemática, señores!

Ahora, ¿qué pasa si la base del logaritmo fuera menor que 1 (pero positiva, claro)? Por ejemplo, si tuviéramos log₀.₅(3 - x) > 0. En ese caso, la relación se invierte. Si log_b(a) > c y 0 < b < 1, entonces a < b^c. Esto es porque las funciones logarítmicas con bases entre 0 y 1 son decrecientes. Al elevar la base a potencias mayores, los resultados se hacen más pequeños. Pero en nuestro problema, la base es 2, que es mayor que 1, así que estamos en el caso directo y todo funciona como esperamos.

Además de esta transformación directa, es vital recordar la propiedad de la base y el argumento:

• La base b de un logaritmo siempre debe ser b > 0 y b ≠ 1. En nuestro caso, b = 2, lo cual cumple perfectamente.
• El argumento a del logaritmo siempre debe ser a > 0. Esto nos lleva a la condición de existencia que ya discutimos: 3 - x > 0. Sin esta condición, cualquier solución que encontremos no tendría sentido matemático real.

Entonces, para resumir el arsenal de propiedades que usamos:

1. Definición de logaritmo: log_b(a) = c <=> b^c = a.
2. Comportamiento de la función logarítmica: Si b > 1, log_b(a) es creciente. Esto significa que si log_b(a) > c, entonces a > b^c. Si 0 < b < 1, log_b(a) es decreciente, y si log_b(a) > c, entonces a < b^c.
3. Condición de existencia: El argumento a debe ser siempre a > 0.

Usando estas propiedades inteligentemente, podemos abordar cualquier desigualdad logarítmica. Para log₂(3 - x) > 0, aplicamos la propiedad 2 (con b=2 > 1) para obtener 3 - x > 2⁰ (es decir, 3 - x > 1), y simultáneamente aplicamos la propiedad 3 para asegurar que 3 - x > 0. Al resolver ambas y encontrar la intersección de sus soluciones, llegamos al conjunto final. ¡Así de poderoso es el conocimiento de estas propiedades, mi gente! ¡A darle caña!

Resolución Paso a Paso de la Desigualdad Logarítmica

¡Listos para la acción, matemáticos! Vamos a desglosar la desigualdad log₂(3 - x) > 0 paso a paso, como si estuviéramos siguiendo un mapa del tesoro para encontrar el conjunto solución. No hay pierde si seguimos el orden y recordamos lo que hemos aprendido sobre logaritmos.

Paso 1: Entender la Condición de Existencia del Logaritmo

Lo primerísimo es asegurarnos de que la expresión log₂(3 - x) tenga sentido. Como ya lo platicamos, el argumento de un logaritmo siempre tiene que ser positivo. En este caso, el argumento es (3 - x). Así que, nuestra primera condición es:

3 - x > 0

Para resolver esta pequeña desigualdad, restamos 3 a ambos lados:

-x > -3

Ahora, para despejar x, multiplicamos ambos lados por -1. ¡Ojo, que al multiplicar por un negativo, el signo de la desigualdad se invierte!

x < 3

¡Anotado! Esto significa que cualquier valor de x que termine siendo nuestra solución final debe ser menor que 3. Si nos saliera algo como x < 5, tendríamos que quedarnos solo con x < 3 porque es la condición más restrictiva.

Paso 2: Resolver la Desigualdad Logarítmica Principal

Ahora vamos con la desigualdad que nos dieron: log₂(3 - x) > 0.

Recordemos la propiedad fundamental de los logaritmos: si tenemos log_b(a) > c, y la base b es mayor que 1 (como nuestro b=2), entonces el argumento a debe ser mayor que b^c. En nuestra desigualdad:

• Base b = 2 (que es > 1)
• Argumento a = 3 - x
• Valor c = 0

Aplicando la propiedad, reemplazamos la desigualdad logarítmica por una desigualdad algebraica:

3 - x > 2⁰

Sabemos que cualquier número (distinto de cero) elevado a la potencia de cero es 1. Así que:

3 - x > 1

¡Genial! Ahora resolvemos esta nueva desigualdad para x. Restamos 3 a ambos lados:

-x > 1 - 3

-x > -2

De nuevo, multiplicamos (o dividimos) por -1 e invertimos el signo de la desigualdad:

x < 2

¡Ya casi lo tenemos! Hemos encontrado que x debe ser menor que 2 para que la desigualdad logarítmica se cumpla.

Paso 3: Combinar las Condiciones y Encontrar la Solución Final

Tenemos dos condiciones importantes que x debe cumplir simultáneamente:

1. De la condición de existencia: x < 3
2. De la desigualdad principal: x < 2

Debemos encontrar los valores de x que satisfacen ambas condiciones al mismo tiempo. Piensen en una recta numérica. ¿Qué números son menores que 3 Y también menores que 2? Si un número es menor que 2, automáticamente ya es menor que 3. Por ejemplo, 1.5 es menor que 2 y también menor que 3. Pero 2.5 es menor que 3, pero no es menor que 2. Por lo tanto, la condición más restrictiva, la que engloba a la otra, es x < 2.

Así que, el conjunto de todos los números x que cumplen log₂(3 - x) > 0 es el conjunto de todos los números menores que 2.

Representación en Notación de Intervalos

El conjunto de todos los números reales x tales que x < 2 se escribe en notación de intervalos como (-∞, 2). El paréntesis abierto en el 2 indica que el 2 no está incluido en el conjunto, y el menos infinito indica que abarca todos los números negativos hacia la izquierda.

¡Y eso es todo, raza! Hemos resuelto la desigualdad paso a paso, considerando la existencia del logaritmo y aplicando las propiedades correctamente. La respuesta es el intervalo (-∞, 2). ¡Felicidades por dominar otra herramienta matemática!