Descuento Único Equivalente: 10%, 30%, 50%

¡Qué onda, matemáticos y matemáticAs!

Hoy vamos a desmenuzar un problemita que seguro les ha sacado canas verdes o, al menos, les ha hecho fruncir el ceño: ¿A qué descuento único equivalen descuentos sucesivos del 10%, 30% y 50%? A simple vista, uno podría pensar que sumamos y listo, ¡pero aquí es donde las matemáticas nos juegan una broma y nos demuestran que la cosa es más interesante! Si creías que 10% + 30% + 50% = 90% era la respuesta, ¡aguas, porque te estás perdiendo de la magia de los descuentos sucesivos!

Vamos a ponernos serios, pero sin perder el buen rollo, y a entender por qué la suma directa no funciona y cómo llegar a la respuesta correcta. Imagínense que van de compras y ven una prenda con un letrero que dice "¡Liquidación! 10% de descuento". ¡Genial! Pero esperen, hay más. Al lado, otro cartelito dice "Además, aprovecha un 30% extra en artículos en oferta". Y por si fuera poco, para rematar la jugada, el cajero les dice: "Y para ti, que te ves bien guapo/a, un 50% adicional". ¿Cuánto creen que se llevan de descuento en total? ¿El 90%? ¡Pues no, mi gente! La clave está en que cada descuento se aplica sobre el precio restante, no sobre el precio original. Y eso, amigos míos, hace una diferencia ¡enorme! Prepárense, porque vamos a hacer este cálculo paso a paso, con ejemplos claros y hasta con un poquito de humor para que las matemáticas se sientan como una charla entre cuates. ¡Al final, van a ser unos cracks en esto de los descuentos!

¿Por qué no Sumamos Simplemente los Descuentos?

Aquí es donde muchos nos atoramos, ¿verdad? La tentación de sumar 10% + 30% + 50% = 90% es súper fuerte. Pero, ¿por qué esto es un error garrafal, muchachos? Piénsenlo así: cuando aplicamos el primer descuento, el precio del artículo baja. El segundo descuento, el del 30%, no se calcula sobre el precio original, sino sobre ese precio ya reducido por el primer 10%. ¡Boom! El porcentaje de descuento que realmente se está aplicando ya no es el mismo. Y luego, el tercer descuento, el del 50%, se aplica sobre el precio que quedó después de los dos primeros descuentos. O sea, ¡cada descuento va comiéndose un pedacito del descuento anterior! Es como una cascada: cada gota cae sobre una superficie más pequeña. Por eso, la suma directa nos da una cifra inflada, que no representa el ahorro real. Si tuvieras un producto de $100 y aplicáramos el 90% de descuento, terminarías pagando solo $10. Pero si aplicamos los descuentos sucesivos, veremos que el resultado es muy diferente. ¡Es crucial entender esta dinámica para no caer en la trampa! Cada porcentaje se vuelve relativo al monto actual, y no al monto inicial. Esta es la esencia de los descuentos sucesivos, y entenderlo es la clave para dominar este tipo de problemas. Así que, la próxima vez que vean varios descuentos juntos, ¡recuerden que no es una simple suma! Es un cálculo más sofisticado y, créanme, mucho más satisfactorio de resolver.

El Método Correcto: ¡Calculando Paso a Paso!

Ahora sí, ¡vamos a la carnita! Para calcular el descuento único equivalente a varios descuentos sucesivos, debemos pensar en cuánto pagamos en lugar de cuánto descontamos. Si nos hacen un descuento del 10%, significa que pagamos el 90% del precio. Si nos hacen un descuento del 30%, pagamos el 70% del precio. Y si nos hacen un descuento del 50%, pagamos el 50% del precio. La clave está en multiplicar estas proporciones de lo que pagamos. ¡Sí, se los dije, es más fácil pensar en lo que pagamos!

Vamos a usar un ejemplo para que quede clarísimo. Supongamos que tenemos un artículo que cuesta $100 (¡qué número tan fácil, ¿verdad?!).:

1. Primer Descuento (10%): Si nos descuentan el 10%, pagamos el 90% del precio. Entonces, pagamos $100 imes 0.90 = $90.
2. Segundo Descuento (30%): Ahora, este 30% se aplica sobre los $90. Es decir, pagamos el 70% de esos $90. Así que, pagamos $90 imes 0.70 = $63.
3. Tercer Descuento (50%): Finalmente, el 50% se aplica sobre los $63. Pagamos el 50% de $63. Por lo tanto, pagamos $63 imes 0.50 = $31.50.

Entonces, después de todos los descuentos, ¡terminamos pagando solo $31.50 por un artículo que originalmente costaba $100! ¿Se dan cuenta de la diferencia con el 90% que habíamos pensado? ¡Es abismal!

La Fórmula Mágica para el Descuento Único

Si queremos generalizar esto y no tener que estar haciendo el cálculo paso a paso cada vez, ¡tenemos una fórmula! La idea es la misma: multiplicar las proporciones de lo que pagamos. Si los descuentos son $d_1, d_2, d_3, ext{...}, d_n$ (en porcentaje), las proporciones que pagamos son $(1 - d_1/100), (1 - d_2/100), (1 - d_3/100), ext{...}, (1 - d_n/100)$.

La proporción total que pagamos será el producto de estas proporciones:

$P_{ ext{total}} = (1 - d_1/100) imes (1 - d_2/100) imes (1 - d_3/100) imes ext{...} imes (1 - d_n/100)$

Y una vez que tenemos la proporción total que pagamos, el descuento único equivalente ($D_{ ext{único}}$) se calcula así:

$D_{ ext{único}} = (1 - P_{ ext{total}}) imes 100$

Vamos a aplicarla a nuestro caso: descuentos del 10%, 30% y 50%.:

• Descuento 1 ($d_1$) = 10% -> Pagamos $(1 - 10/100) = 0.90$
• Descuento 2 ($d_2$) = 30% -> Pagamos $(1 - 30/100) = 0.70$
• Descuento 3 ($d_3$) = 50% -> Pagamos $(1 - 50/100) = 0.50$

La proporción total que pagamos es:

$P_{ ext{total}} = 0.90 imes 0.70 imes 0.50$

$P_{ ext{total}} = 0.63 imes 0.50$

$P_{ ext{total}} = 0.315$

¡Ahí lo tienen! Pagamos el 0.315 del precio original. Para saber el descuento único equivalente, restamos esto de 1 y multiplicamos por 100:

$D_{ ext{único}} = (1 - 0.315) imes 100$

$D_{ ext{único}} = 0.685 imes 100$

$D_{ ext{único}} = 68.5$

¡Ojo! Aquí hay una pequeña trampa en las opciones que nos dieron, pero vamos a ver cómo llegamos a la respuesta correcta basándonos en nuestros cálculos.

Analizando las Opciones y Llegando a la Respuesta

Las opciones que nos presentan son: a) 72%, b) 76%, c) 90%, d) 64%, e) 82%.

Nuestro cálculo nos dio un descuento único equivalente del 68.5%. ¡Ups! Ninguna de las opciones coincide exactamente con nuestro resultado. Esto puede pasar en los exámenes, ¿verdad? A veces hay pequeños errores en las preguntas o en las opciones. Sin embargo, vamos a repasar nuestro método, que es el correcto, para asegurarnos de que no nos equivocamos.

Repaso del cálculo:

• Precio original: 100%
• Después del 10% de descuento, pagas 90%.
• Sobre ese 90%, te hacen 30% de descuento. El descuento real es $0.30 imes 90 = 27$. Pagas $90 - 27 = 63$. O, lo que es lo mismo, pagas $0.70 imes 90 = 63$.
• Sobre ese 63%, te hacen 50% de descuento. El descuento real es $0.50 imes 63 = 31.5$. Pagas $63 - 31.5 = 31.5$. O, lo que es lo mismo, pagas $0.50 imes 63 = 31.5$.

El precio final que pagas es 31.5% del precio original. Por lo tanto, el descuento total es $100$.

Ahora, ¿qué hacemos si ninguna opción cuadra? Lo primero es revisar el planteamiento del problema y nuestros cálculos. Si estamos seguros de que el método y los números son correctos, debemos buscar la opción que esté más cerca o considerar si hubo algún error de transcripción en el problema original o en las opciones.

Vamos a ver las opciones y nuestro resultado:

• Nuestro resultado: 68.5%
• a) 72%
• b) 76%
• c) 90% (Este es el error común de sumar)
• d) 64%
• e) 82%

La opción que está más cerca de 68.5% es la opción d) 64%, pero la diferencia es considerable (4.5 puntos porcentuales). Otra opción cercana sería la a) 72%, con una diferencia de 3.5 puntos porcentuales.

Posibilidad de Error en el Problema: A veces, los problemas de este tipo están diseñados con números que sí dan una de las opciones. Si asumimos que una de las opciones es correcta, podríamos tratar de trabajar hacia atrás, pero eso es más complicado.

Consideremos si el problema se refiriera a descuentos en orden diferente: Aunque el orden de los descuentos sucesivos no altera el resultado final (la multiplicación es conmutativa), vale la pena mencionarlo.

¿Podría haber un error en la pregunta original? Es posible que los porcentajes fueran diferentes. Por ejemplo, si los descuentos fueran 10%, 30% y 40%:

$P_{ ext{total}} = (0.90) imes (0.70) imes (0.60) = 0.63 imes 0.60 = 0.378$

$D_{ ext{único}} = (1 - 0.378) imes 100 = 62.2$ Esto tampoco se acerca mucho.

¿Qué tal si los descuentos fueran 10%, 20% y 50%?

$P_{ ext{total}} = (0.90) imes (0.80) imes (0.50) = 0.72 imes 0.50 = 0.36$

$D_{ ext{único}} = (1 - 0.36) imes 100 = 64$ ¡Ajá! Si los descuentos fueran 10%, 20% y 50%, el descuento único equivalente sería 64%. Esto coincide con la opción d). Es muy probable que el problema original tuviera un error y el segundo descuento fuera del 20% en lugar del 30% para que encajara con las opciones proporcionadas.

Conclusión para el problema dado (10%, 30%, 50%):

Basándonos estrictamente en los números proporcionados (10%, 30%, 50%), el descuento único equivalente es 68.5%. Dado que esta opción no está presente, y asumiendo que hay un error en el enunciado o en las opciones, la opción d) 64% es la que se obtendría si el segundo descuento fuera del 20% en lugar del 30%. Sin embargo, si debemos elegir la opción más cercana a nuestro cálculo de 68.5%, tendríamos que comparar las distancias:

• $|68.5 - 72| = 3.5$
• $|68.5 - 76| = 7.5$
• $|68.5 - 90| = 21.5$
• $|68.5 - 64| = 4.5$
• $|68.5 - 82| = 13.5$

La opción más cercana es la a) 72%, con una diferencia de 3.5 puntos. Pero, como vimos, el 64% se obtiene con un cambio plausible en uno de los descuentos.

Dado que el contexto es un problema de matemáticas con opciones, y el cálculo con 10%, 20%, 50% da exactamente el 64%, es altamente probable que el problema original tuviera un error y el segundo descuento fuera 20%. Si nos obligaran a elegir una opción basándonos en el problema tal como está escrito, y no hubiera opción para indicar un error, yo elegiría la opción que se obtiene con un pequeño ajuste lógico que la hace encajar perfectamente, que sería el 64% asumiendo el 20% en lugar del 30%. Pero si la consigna es ser estricto con los números dados, entonces ninguna opción es correcta y la más cercana es 72%.

Sin embargo, para fines prácticos y de aprendizaje, entendemos que el método para calcular descuentos sucesivos es multiplicar las porciones que se pagan y luego restar el resultado de 1 para obtener el descuento total. ¡Así que, chicos, ya saben cómo calcularlo! ¡Y a estar atentos a las posibles trampitas en las preguntas de examen!